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칼럼
문제의 전체적인 맥락 고민하기와 수학 한 문제
입력 2012-11-02 오후 6:43:15
월간경제노트구독
왜 많은 사람들이 수학문제가 주어지면 일단 순서대로 더하기 빼기부터 하려고 덤비는 걸까? 물론 계산실수를 하지 않는다는 전제가 있어야겠지만, 그런 방식으로도 언젠가는 답을 구할 수 있을 것이다.
하지만 문제의 전체적인 맥락을 꿰뚫지 못한 상태에서 일단 할 수 있는 계산부터 하려고 들면 풀이과정은 점점 더 복잡해지고 자칫 자기가 지금 무슨 문제를 풀고 있는 건지 방향까지 잃어버릴 수도 있다. (17p)
 
오카베 쓰네하루 지음, 김정환 옮김 '마흔에 다시 읽는 수학 - 인생의 절반에서 지혜의 원리를 만나다' 중에서 (예인(플루토북))
 
주말입니다. 가벼운 마음으로 수학 문제 하나 풀어보시지요. 저자는 수학만큼 문제의 본질을 추구하고 문제의 전체적인 맥락을 고민하는 데 최적인 학문은 없다고 합니다. 그러니 사회생활에서도 가장 중요한 능력인 '문제의 본질'을 꿰뚫는 시각을 단련하는 시간을 잠시 가져보시기 바랍니다.
 
<문제> 아래의 그림은 2011년 11월의 달력이다. 일반적인 달력은 휴일 등이 빨간색으로 표시되어 있지만, 이 달력은 모든 숫자가 검은색이다. 달력에서 오렌지색으로 칠해진 틀 안에 있는 숫자를 전부 합하면 몇이 될까?
 
 
 
 이 문제를 푸는 방법은 몇가지가 있습니다.
 
1.우선 무작정 이 숫자들을 하나하나 더하면 답은 나옵니다. 계산 실수만 하지 않는다면 정답을 구할 수 있지요. 하지만 이 방법으로는 '문제의 본질'을 꿰뚫는 연습이 되지 않습니다. 어떻게 하면 최대한 간단하게 계산할 수 있을까 그 방법을 궁리해보는 과정에서 문제의 본질을 찾을 수 있는 능력이 생겨난다고 저자는 말합니다.
 
2.가우스의 계산법의 원리를 이용하는 방법이 있습니다. 이는 연속된 수의 한 가운데 위치한 수에 다른 수를 맞추는 것이지요. 따라서 첫줄의 3,4,5는 그 중 가운데 수인 4에 맞추어서 4X3=12로 계산합니다.
다른 줄들도 이처럼 모두 세 개씩 묶어서 똑같은 방법으로 계산합니다.
4X3 +10X3 +16X3 +22X3 +28X3
= (4+10+16+22+28)X3 = 240.
 
3.위의 방법으로도 답은 나옵니다. 1번의 방법보다는 계산이 훨씬 편해졌습니다. 그러나 저자는 "이 정도로 만족해서는 절대 가우스의 머리에 가까워질 수 없다. 아직 더 쉽고 빠르게 계산할 수 있는 여지가 남아 있기 때문이다"라고 말합니다.
 
저자는 각 줄의 연속된 세 숫자의 가운데 숫자가 아니라, 전체의 한가운데 숫자를 생각하면 계산이 훨씬 더 편해진다고 말합니다. 전체의 한가운데 위치하는 숫자는 16이지요. 가장 작은 수인 3과 가장 큰 수인 29의 한가운데에 16이 있습니다. 그리고 (3+29)/2= 16입니다. 
두 번째로 작은 수인 4와 두 번째로 큰 수인 28은 어떨까요? 이것도 (4+28)/2= 16입니다. 이번에는 조금 건너뛰어 9와 23은 어떤지 살펴보니, 이것 역시 (9+23)/2 =16DLQSLELK.
 
즉 16을 사이에 두고 맞은편에 있는 두 수를 더한 값은 16을 두 번 더한 것과 같다는 얘깁니다. 그리고 16은 한가운데 있으니 짝을 이루는 수가 없습니다. 그렇다면 15개의 수를 모두 16으로 만들어서 계산하면 된다는 결론이 나옵니다.
 
따라서 이 계산은 16X15 =8X30 =240으로 구할 수 있습니다.
 
저자는 여기서도 암산을 쉽게 하기 위해 16X15를 8X30으로 바꿔 계산하더군요. 즉 16X15 =(8X2)X15 =8X(2X15) =8X30으로 바꾸면 훨씬 암산이 편해진다는 겁니다.
 
아래에 저자가 '나무젓가락 입체'라고 이름 붙인 그림을 보면 이해가 훨씬 빠르더군요. 
 
오래간만에 수학 한 문제를 풀어보면서 '본질'을 꿰뚫는 능력에 대해 생각해보는 주말 보내시기 바랍니다.
 
 
 
 
 
 
 
 
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입력 2012-11-02 오후 6:43:15
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